[Home Page]

Výpočet geografického středu České republiky

Technická zpráva

Matematický základ

Těžiště - centroid, hmotný nebo geometrický střed - tělesa je bod, do něhož lze umístit působiště síly tělesa. Geometrickým středem republiky je těžiště plochy vymezené státními hranicemi, přičemž tuto plochu považujeme za výškově stejnou, tj. nebereme v úvahu horstva a nížiny. Názornou představu nám poskytne jednoduchá pomůcka: z tvrdého kartonu vyřízneme obrysy republiky a na špičce prstu se snažíme pomůcku udržet ve vodorovné rovině. Pokud se nám to podaří, držíme karton v těžišti.
Těžiště uzavřeného nepravidelného mnohoúhelníku (hranice jsou nespojitá funkce) lze spočítat jako vážený průměr těžišť trojúhelníků, do nichž rozdělíme celou plochu. Váhou každého jednoho těžiště je plocha trojúhelníka, ke kterému těžiště náleží.

Těžiště trojúhelníka leží v bodě, které je průměrem souřadnic jednotlivých vrcholů:
xT = (x1 + x2 + x3) / 3, yT = (y1 + y2 + y3) / 3.

Obsah jednotlivých trojúhelníků se počítá ze souřadnic vrcholů, např.
S = (x1 * (y2 - y3) + x2 * (y3 - y1) + x3 *(y1 - y2)) / 2.

Celková plocha Sr je součet obsahů všech trojúhelníků.
Váhy jednotlivých trojúhelníků jsou poměrem Pi = Si / Sr, součet vah je roven 1.

Parciální souřadnice jednotlivých těžišť jsou
uTi = xTi * Pi, vTi = yTi * Pi

Výsledná souřadnice těžiště Xr je součet všech uT, souřadnice Yr je součet všech vT.


Praktický postup

Zadavatel dodal zpracovateli souřadnice bodů na hranicích České republiky (nikoliv souřadnice hraničních mezníků). Představu o poloze těžiště dal výpočet centroidu útvaru, který se v grafickém systému AutoCAD nazývá region a který firma Autodesk, Inc. definuje jako těžiště ohraničeného plošného útvaru. Souřadnice y = 682 470.55 m, x = 1 089 495.37 m.
Prvním výpočetním krokem bylo rozdělení plochy republiky na trojúhelníky, k čemuž byl použit digitální model terénu Autodesk Land Desktop. Výsledkem byly 2834 trojúhelníky, každý definovaný souřadnicemi vrcholů, těžištěm a velikostí plochy. Další postup byl aplikací výše popsaných matematických základů v programu Excel fy Microsoft Corporation.
Výsledkem jsou souřadnice y = 682 470.40 m, x = 1 089 495.58 m, které se liší od předběžného těžiště regionu pouze v centimetrech. Nepatrný rozdíl je výsledkem rozdílné aritmetiky a zaokrouhlení mezivýsledků použitých výpočetních prostředků.
Jako souřadnice těžiště České republiky v systému S-JTSK (zaokrouhleno na celé metry) jsou tímto výpočtem stanoveny:
Y = 682 470 m, X = 1 089 495 m.
Bod padne 400 m severovýchodně od kostela Nanebevzetí Panny Marie v obci Číhošť.


Geodetické měření

Pro zaměření nejbližšího okolí a následné vytyčení bodu bylo nutné v blízkosti těžiště dočasně stabilizovat stanovisko pro geodetické měření. Jeho souřadnice jsou určeny geodetickým měřením a výpočtem polygonového polohového a výškového pořadu o dvou bodech mezi zhušťovacími body 216 a 217 s orientací na trigonometrický bod 21 (kostel Číhošť).
V nejbližším okolí těžiště je na rozloze asi 1 ha zaměřen polohopis a výškopis.
Měření je provedeno totální stanicí Topcon GTS-212 a souřadnice i výšky stanoveny vyrovnáním metodou nejmenších čtverců. Dosažené střední chyby v poloze i výšce odpovídají přesnosti bodů podrobného bodového pole, tzn. že přesností vysoko překračují požadavky pro zadaný úkol.
Ke všem geodetickým výpočtům je použit výpočetní systém GeoPol / Survey fy GPlus, s.r.o., jehož je zpracovatel zadání spoluautorem, měření je graficky zpracováno v systému AutoCAD a digitálním modelu terénu Autodesk Land Desktop.
Po geodetickém zaměření okolí a vytyčení bodu byla zjištěna nadmořská výška v místě těžiště 527.9 m v celostátním systému Bpv.

Souřadnice Y, X systému S-JTSK jsou přetransformovány do zeměpisných souřadnic systému WGS-84 49° 44´ 37.5˝ s.š., 15° 20´ 19.1˝ v.d.

Pro znovuobnovení bodu jsou vypočteny vytyčovací prvky z relevantních bodů polohopisu.

Seznam souřadnic a výšek použitých geodetických bodů:
Typ číslo Y (S-JTSK) X (S-JTSK) Z (Bpv)

TB 21 682716.70 1089804.68 557.49
ZhB 216 682905.83 1089352.67 509.08
ZhB 217 682006.88 1088995.20 541.66
4001 682530.86 1089444.18 528.34
4002 682341.07 1089326.42 537.39

Bod těžiště České republiky byl dočasně stabilizován železnou trubkou s ochrannými dřevěnými kolíky. Terénní geodetické práce proběhly ve dnech 12.-13. 4. 2004.
Podle neoficiálního výpisu z databáze Českého úřadu zeměměřického a katastrálního leží těžiště České republiky na parcele katastru nemovitostí č. 1168/4, druh pozemku orná půda, parcela není zapsána na LV.


Závěr

Nejsledovanějším parametrem při určení těžiště nepravidelného mnohoúhelníku je přesnost výsledných souřadnic. Na kvalitě určení se nejvíce podílí počet a přesnost bodů, definujících hranice území, za stejných výchozích podmínek dá jiná použitá metoda stejné výsledky.
V případě tohoto výpočtu vycházel zpracovatel ze seznamu souřadnic 2834 bodů, které nejsou přesným ani úplným seznamem hraničních bodů České republiky. Jejich množství však dává záruku, že vypočtený bod těžiště se ve své poloze významně neliší od bodu, který by byl vypočten z kompletního oficiálního seznamu souřadnic hraničních mezníků.


Výpočet geografického středu kraje Vysočina

Matematický základ i praktický postup je stejný, jako v případe určení těžiště České republiky. Zadavatel dodal zpracovateli souřadnice bodů na hranicích kraje Vysočina. Jejich počet a přesnost (celkem 21 949 bodů) dává záruku, že vypočtený střed kraje je určen s maximální přesností, řádově v jednotkách metrů.
Po ověření funkčnosti výpočtu pomocí centroidu regionu, který firma Autodesk, Inc. ve svém grafickém systému AutoCAD definuje jako těžiště ohraničeného plošného útvaru, byly zjištěny tyto souřadnice v S-JTSK: Y = 662 199 m, X = 1 129 118 m.
Bod leží poblíž silnice Velký Beranov - Kozlov, asi 1 km západně od Kozlova.


Výpočet geografického středu Evropy

O polohu geografického středu Evropy vedou spory významné univerzity, zeměpisné ústavy a řada dalších kapacit v oboru. Hlavním problémem je stanovení politicky vyhovujících přesných hranic Evropy, začlenění přilehlých ostrovů atd. Výsledkem jsou údaje, lišící se ve stovkách kilometrů, ale vždy je jisté, že Česká republika jako "srdce Evropy" určitě nebude jejím geografickým středem.
Problém již není geodetickou aplikací a proto je řešen velmi jednoduše podobnou metodou, jako výpočet středů České republiky a kraje Vysočina. Kontinentální hranice naskenované mapy Evropy v stejnoplochém zobrazení je velmi generalizovaným způsobem zvektorizována. Na západě do ní nejsou zahrnuty britské ostrovy a Island, na jihu ostrovy Středozemního moře a východní hranici tvoří řeky Pečora, Kama, Volha a Don. Výsledný centroid tohoto regionu se nalézá v blízkosti hranice mezi Polskem a Litvou.
Použitá metoda dává jen hrubou představu, ale velmi se blíží jednomu z přesných geografických výpočtů, který lokalizuje střed Evropy severně od hlavního města Litvy Vilniusu.


V Praze dne 19. 4. 2004

Zpracoval:
Ing. Ladislav Fofonka
úředně oprávněný zeměměřický inženýr
Strážnická 402 / 6
Praha 8 - Čimice
181 00
tel/fax: 233 550 187
mobil: 602 382 340
e-mail: fofonka@tiscali.cz

Ing. Ladislav Fofonka

vyvěšeno: 13.05.2005
ID článku: 1694


Z časopisu Zeměměřič č. 05-05
[Server]
Geodézie
Různé Zajímavosti
Z domova
[Pošta]